Question

【题目】如图，以边为直径的⊙经过点, 是⊙上一点，连结交于点，且， .

（1）试判断与⊙的位置关系，并说明理由；

（2）若点是弧的中点，已知，求的值.

Answer 1

【答案】（1）是⊙的切线.证明见解析；（2）8.

【解析】试题分析：（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD和∠D的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；

（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CECP的值．

试题解析：（1）如图， 是⊙的切线.证明如下：

连结OP，

∵∠ACP=60°，

∴∠AOP=120°，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA=30°，

∵PA=PD，

∴∠PAO=∠D=30°，

∴∠OPD=90°，

∴PD是⊙O的切线．

（2）连结BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵C为弧AB的中点，

∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，

∵AB=4，AC＝ABsin45°＝2．

∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，

∴△CAE∽△CPA，

∴，

∴CPCE=CA2=（2）2=8．