Question

【题目】如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则=mn. 其中正确的结论有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；

②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；

③根据三角形内心的性质即可得出结论；

④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，

∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．

∵EF∥BC，

∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，

∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，

∴BE=EG，GF=CF，

∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；

②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，

∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），

∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，故本小题正确；

③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，

∴点G是△ABC的内心，

∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；

④连接AG，

∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，

∴S△AEF=AEGD+AFGD=（AE+AF）GD=nm，故本小题错误．

故选：C．