Question

【题目】如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．

（1）问线段EC与BF数量关系和位置关系？并给予证明．

（2）连AM，请问∠AME的大小是多少，如能求写出过程；不能求，写出理由．

Answer 1

【答案】（1）EC⊥BF, EC=BF（2）∠AME=45°.

【解析】

（1）先由条件可以得出∠EAC=∠FAB,再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论.

（2）作AN⊥EC,AH⊥BF，通过（1）中已知条件证明Rt△AMH ≌Rt△AMN，即可求解.

（1）理由: 设AB与EC的交点为G

∵AE⊥AB,AF⊥AC,

∴∠EAB=∠CAF=90°，

∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC,

∴∠EAC=∠FAB

在△EAC和△BAF中，AE=AB, ∠EAC=∠FAB，AF=AC

∴△EAC≌△BAF

∴EC=BF, ∠AEC=∠FBA

∵∠AEG+∠AGE=90°，∠AGE=∠BGM,

∴∠ABF+∠BGM=90°

∴∠BME=90°,

∴EC⊥BF.

（2）作AN⊥EC,AH⊥BF

∵△EAC≌△BAF，AN⊥EC,AH⊥BF

∴AH=AN

∵AM⊥EC,AN⊥BF

∴Rt△AMH 和Rt△AMN中，AH=AN,AM=AM

∴Rt△AMH ≌Rt△AMN（HL）

∴∠AMH =∠AMN

∵EC⊥BF

∴∠AME=45°.