Question

【题目】如图， 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若ΔABC面积为 2.

（1）求k的值

（2）x轴上是否存在一点D，使ΔABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）k=2（2）D（，0）或（-，0）

【解析】试题分析:(1)根据对称性可得OA=OB,从而可得△ACO的面积为1,由此可求出点A的坐标,然后运用待定系数法就可解决问题,

(2)先将y=2x与y=联立成方程组,求出A,B两点的坐标,由 O为线段AB的中点,

可得OD=AB=OA,然后利用勾股定理求出OA的值,即可求出D点的坐标.

试题解析:(1)设点A的坐标为（m,n）,

∵点A在直线y=2x上,

∴n=2m,

根据对称性可得OA=OB,

∴S△ABC=2S△ACO=2,

∴S△ACO=1,

∴m2m=1,

∴m=1（舍负）,

∴点A的坐标为（1,2）,

∴k=1×2=2,

（2）x轴上存在一点D,使△ABD为直角三角形,

将y=2x与y=联立成方程组得:

,

解得: ,,

∴A（1,2）,B（－1,－2）,

当AD⊥BD时,如图,

∵O为线段AB的中点,

∴OD=AB=OA,

∵A（1,2）,

∴OC=1,AC=2,

由勾股定理得:OA==,

∴OD=,

∴D（,0）,

根据对称性,当D为直角顶点,且D在x轴负半轴时,D（－,0）,

故x轴上存在一点D,使△ABD为直角三角形,点D的坐标为（,0）或（－,0）.