Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足为H，D为直线BC上一动点(不与点B、C重合)，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）求证：BD=CE；

（2）若点D在线段BC上，问点D运动到何处时，AC⊥DE？请说明理由；

（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为20°，试探究∠ADB的度数．(直接写出结果，无需写出求解过程)

　　　　　　　　

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当点D运动到BC中点(H点)时，AC⊥DE．理由见解析；（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．

【解析】

（1）由∠DAE=∠BAC证明∠BAD=∠CAE，再证明△BAD≌△CAE即可得到结论，

（2）利用等腰三角形的性质，证明∠CAH=∠CAE，再利用三线合一可得结论，

（3）分三种情形：①当点D在CB的延长线上时，∠ADB=40°； ②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，此时∠ADB=180°-20°-60°=100°． ③当点D在BC 延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°；即可得到答案．

证明：（1）如图1．

∵∠DAE=∠BAC

∴∠BAD=∠CAE

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴BD=CE．

（2）当点D运动到BC中点(H点)时，AC⊥DE

理由是：如图2．

∵AB=AC，AH⊥BC

∴∠BAH=∠CAH

∵∠BAH=∠CAE，

∴∠CAH=∠CAE

∵AH=AE，

∴AC⊥DE．

（3）∠ADB的度数为20°或40°或100°．

理由如下：

①如图3中，当点D在CB的延长线上时，

∵CE∥AB，

∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC．

∵△DAB≌△EAC，

∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°

∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°，

则∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°．

②当点D在线段BC上时，最小角只能是∠DAB=20°，

同理可得：∠ADB=180°-20°-60°=100°．

③当点D在BC延长线上时，最小角只能是∠ADB=20°，

综上所述：满足条件的∠ABD的值为20°或40°或100°．