Question

【题目】（背景）如图(a)，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE.

（探究）如图(b)，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.

①∠AEB的度数为________；②线段BE与AD之间的数量关系是________．

（拓展）如图(c)，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.

①求∠AEB的度数；

②请直接写出线段CM，AE，BE之间的数量关系．

Answer 1

【答案】背景：见解析；探究：①60°　②BE＝AD；拓展：（1）90°；（2）AE＝BE＋2CM

【解析】

背景：根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE；

探究：①根据△ACB和△DCE均为等边三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为60°即可；

②，由△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD；

拓展：①根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可；

②根据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可．

背景：∵∠BAC＝∠DAE＝40°，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；

探究：①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=180-60=120°，

∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120-60=60°，

故答案为：60°；

②∵△ACD≌△BCE，

∴BE=AD，

故答案为：BE=AD；

拓展：①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°，

∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝180°－∠CDE＝180°－45°＝135°，

∴∠BEC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°；

②∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，

∴CM=DM=EM，

∴DE=DM+EM=2CM，

又∵AD=BE，

∴AE=AD+DE=BE+2CM