Question

【题目】 如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标．

（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）①（4，21）或（﹣4，5）；②当x=﹣时，QD有最大值．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；

（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；

②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，

∵点A的坐标为（﹣3，0），

∴点B的坐标为（1，0）；

（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，

∴=﹣1，解得b=2．

将B（1，0）代入y=x2+2x+c，

得1+2+c=0，解得c=﹣3．

则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，

∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．

设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC=4S△BOC，

∴×3×|x|=4××3×1，

∴|x|=4，x=±4．

当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；

当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．

∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；

②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，

得，解得，

即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．

设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），

QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

∴当x=﹣时，QD有最大值．