Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，点E是边AD的中点，连接BE交AC于F，BE的延长线交CD的延长线于G.

（1）求证：；

（2）若GE=2，BF=3，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）1.

【解析】

（1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB＝DE：BC；已知AE＝DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论；

（2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC＝EF：FB，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长.

解：（1）证明：

∵AD∥BC，

∠GED＝∠GBC，

∠G＝∠G，

∴△GED∽△GBC，

GE：GB=DE：BC，

∵AE＝DE，

∴EG：GB=AE：BC；

（2）∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

AE：BC=EF：BF，

由(1)问EG：GB=AE：BC，

∴EG：GB=EF：BF，

设EF＝x，

∵GE＝2，BF＝3，

∴x：3=2：(5+x),

x1＝1，x2＝－6（不合题意，舍去）

∴EF＝1．