Question

【题目】如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是： 甲：①、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
②、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形
乙：①、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
②、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）

A.甲、乙均正确
B.甲、乙均错误
C.甲正确、乙错误
D.甲错误，乙正确

Answer 1

【答案】A
【解析】解：根据甲的思路，作出图形如下：
连接OB，
∵BC垂直平分OD，
∴E为OD的中点，且OD⊥BC，
∴OE=DE= OD，又OB=OD，
在Rt△OBE中，OE= OB，
∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，
∴∠BOE=60°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
又∠BOE为△AOB的外角，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，
同理∠C=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BAC=∠C，
∴△ABC为等边三角形，
故甲作法正确；
根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD，
∵OD=BD，OD=OB，
∴OD=BD=OB，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
又BC垂直平分OD，∴OM=DM，
∴BM为∠OBD的平分线，
∴∠OBM=∠DBM=30°，
又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，
同理∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC为等边三角形，
故乙作法正确，
故选A
【考点精析】解答此题的关键在于理解含30度角的直角三角形的相关知识，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，以及对垂径定理的理解，了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．