Question

【题目】定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离． 已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．

（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M， ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=2，n=2时，

如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；

当m=5，n=2时，

B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，

如答图2，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，

在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB= = =

（2）解：如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：

当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；

当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，

ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：

∴d= = =

（3）解：①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：

由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，

其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，

∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．

②结论：存在．

∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．

∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．

如答图所示，相似三角形有三种情形：

（i）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．

如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，

由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），

∴m=1；

（ii）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．

如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，

由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），

∴m=3；

（iii）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．

如图，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，

过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m﹣4，

由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）

在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2 （2）

由（1）、（2）式解得：m1= ，m2=2，

当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，

∴m= ．

综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或 ．

【解析】（1）理解新定义，按照新定义的要求求出两个距离值；（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6： 当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长；（3）①在准确理解点M运动轨迹的基础上，画出草图，如答图3所示．由图形可以直观求出封闭图形的周长；②如答图4所示，符合题意的相似三角形有三个，需要进行分类讨论，分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值．