Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A9m,0、Bm,0m0，以AB为直径的⊙M交y轴正半轴于点C，CD是⊙M的切线，交x轴正半轴于点D，过A作AECD于E，交⊙于F.

（1）求C的坐标；（用含m的式子表示）

（2）①请证明：EFOB；②用含m的式子表示AFC的周长；

（3）若，，分别表示的面积，记，对于经过原点的二次函数，当时，函数y的最大值为a，求此二次函数的解析式.

Answer 1

【答案】（1）C(0,3m)；

（2）①证明见解析；②8m+；

(3) 或

【解析】

(1)连接MC，先得出MC=5m，MO=4m，再由勾股定理得出OC=3m，即可得出点C的坐标；

（2）①由弦切角定理得∠ECF=∠EAC,再证出FC=BC，再证出△CEF≌△COB，可得到EF=OB;

②由△CEF≌△COB可得AE=AO，用勾股定理求出AC、BC.再用等量代换计算可得到AFC的周长

（3）先用三角函数求出OD，再用勾股定理列出方程，得到m=1，从而求得的面积，再求出k值。再根据二次函数的性质列出方程求得a的值，从而问题得解。

解：（1）连接MC，

∵A9m,0、Bm,0m0，

∴AB=10m,MC=5m，MO=4m

由勾股定理得

解得：OC=3m

∴C(0,3m)

（2）①证明：连接CF，

∵CE是⊙M的切线，

∴∠ECF=∠EAC,

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∴∠CAB=∠BCO,

∵A,F,C,B共圆，

∴∠EFC=∠OBC,

又∵AE⊥CE

∴∠CEF=∠BOC=90°,

∴∠ECF=∠BCO,

∴∠EAC=∠CAB

∴CF=CB

在△CEF和△COB中

∴△CEF≌△COB

∴EF=BO

②∵△CEF≌△COB

∴CE=CO,

∴△ACE≌△ACO(HL)

∴AE=AO

∵

AFC的周长=AF+FC+AC=AE-EF+FC+AC

=AO-BO+FC+AC

=9m-m++

=8m+

(3)∵CD是⊙M的切线，

易证∠OCD=∠OMC

∴sin∠OMC= sin∠OCD

即

得

在Rt△OCD中，

而CO=3m

∴m=1

∴AF=8,CE=3,

∴

二次函数的图象过原点，则c=0

得

对称轴为直线

当时，即

分两种情况，a＜0时，由函数的性质可知，时，y=a，

∴

解得

∴此二次函数的解析式为：

A＞0时，由函数的性质可知，x=4时，y=a，

∴a=16a-4

解得

∴此二次函数的解析式为：

综上，此二次函数的解析式为：或

故答案为：或