Question

【题目】如图，⊙O为ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且EACABC.

（1）求证：直线AE是⊙O的切线；

（2）若D为AB的中点，CD3，AB8.

①求⊙O的半径；②求ABC的内心I到点O的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①⊙O的半径；②ABC的内心I到点O的距离为.

【解析】

（1）连接AO，证得EACABC=,，则EAO=EAC+CAO=，从而得证；

（2）①设⊙O的半径为r,则OD=r-3，在△AOD中，根据勾股定理即可得出②作出ABC的内心I，过I作AC,BC的垂线，垂足分别为F,G.设内心I到各边的距离为a，由面积法列出方程求解可得答案。

(1)如图，连接AO

则EACABC=.

又∵AO=BO,

∴ACO=CAO=

∴EAO=EAC+CAO=AOC +=

∴EA⊥AO

∴直线AE是⊙O的切线；

（2）①设⊙O的半径为r,则OD=r-3，

∵D为AB的中点，

∴OC⊥AB，ADO=，AD=4

∴,即

解得

②如下图，

∵D为AB的中点，

∴

且CO是的平分线，则内心I在CO上，连接AI,BI,过I作AC,BC的垂线，垂足分别为F,G.

易知DI=FI=GI,设其长为a.由面积可知：

即

解得

∴

∴ABC的内心I到点O的距离为