Question

【题目】如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】解:（1）

（2）存在P1（－1， ）、P2（1，6），P3（1， ）

（3）连OE设四边形BOCE的面积为S，点E的坐标为（）

∵E在第二象限　　　　　　　

∴3＜x＜0 －x2－2x＋3＞0

∵S＝S△BOE＋S△COE＝＋×3×（－×）

＝

∵－3＜x＜0

∴当x＝－时，S最大为

此时，E（）

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）分CP=MP、CM=CP、CM=MP三种情况讨论，（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，－－2a＋3）（－3＜a＜0），然后用a表示出四边形BOCE面积，然后利用二次函数的性质确定最大值即可得到点E坐标．

试题解析：解︰（1）由题知︰，解得︰

∴所求抛物线解析式为︰

（2）存在符合条件的点P，

其坐标为P（－1，）或P（－1，－）或P（－1，6）或P（－1，）

（3）解法①：

过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，－－2a＋3）（－3＜a＜0）

∴EF＝－－2a＋3，BF＝a＋3，OF＝－a

∴S四边形BOCE＝BF·EF＋（OC＋EF）·OF

＝（a＋3）·（－－2a＋3）＋（－－2a＋6）·（－a）

＝＝－＋

∴当a＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．

此时，点E坐标为（－，）

解法②：

过点E作EF⊥x轴于点F，设E（x，y）（－3＜x＜0）

则S四边形BOCE＝（3＋y）·（－x）＋（3＋x）·y

＝（y－x）＝（）＝－＋

∴当x＝－时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为（－，）