Question

【题目】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，∴BE=CD

（2）

解：∵AB=BE，∠BEA=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=4，

∵BF⊥AE，

∴AF=EF=2，

∴BF= = =2 ，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴△ADF的面积=△ECF的面积，

∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AEBF= ×4×2 =4 ．

【解析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；
　　　　（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AEBF，即可得出结果．此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．