Question

【题目】已知抛物线C：y=x2﹣3x+m，直线l：y=kx（k＞0），当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．

（1）求m的值；
（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y=﹣3x+b交于点P，且 + = ，求b的值；
（3）在（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，

∴直线l解析式为y=x，

∵ ，

∴x2﹣3x+m=x，

∴x2﹣4x+m=0，

∴△=16﹣4m=0，

∴m=4

（2）

解：如图，

分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，

则△OAC∽△OPD，∴ ．

同理， ．

∵ ，

∴ =2．

∴ =2．

∴ ，

即 ．

解方程组 ，

得x=x= ，

即PD= ．

由方程组 消去y，得x2﹣（k+3）x+4=0．

∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，

∴AC+BE=k+3，AC×BE=4．

∴ ．

解得b=8．

（3）

解：不存在．理由如下：

假设存在，

当S△APQ=S△BPQ时，有AP=PB，

于是PD﹣AC=PE﹣PD，

即AC+BE=2PD．

由（2）可知AC+BE=k+3，PD= ，

∴k+3=2× ，

即（k+3）2=16．

解得k=1（舍去k=﹣7）．

当k=1时，A，B两点重合，△BQA不存在．

∴不存在实数k使S△APQ=S△BPQ

【解析】（1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即△=0，代入计算即可求出m的值；（2）作出辅助线，得到△OAC∽△OPD， + =2，同理 + =2，AC，BE是x2﹣（k+3）x+4=0两根，即可；（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，比例的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解本题的关键是灵活运用根与系数的关系．
【考点精析】认真审题，首先需要了解根与系数的关系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商)，还要掌握比例的性质(基本性质；更比性质（交换比例的内项或外项）；反比性质（交换比的前项、后项）；等比性质)的相关知识才是答题的关键．