【题目】（14分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒。连接BM并延长交AG于N。

（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；

（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=NH；

（3）过点M分别用AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值。

参考答案：

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）当t=秒时，S的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）△ABM为等腰三角形有三种情况，①AM=BM，②AB=BM,③AM=AB，根据这三种情况确定M的位置.（2）根据同角的的余角相等可证∠ABN=∠DNH，再证∠BKN=∠NDH=135，BK=DN，利用ASA可判定△BNK≌△NHD，进而根据全等三角形的对应边相等可得BN=NH.（3）矩形AEMF与△ACG重叠部分分两种情况，①当点M在AC上时，即0<t≤时，当点M在CG上时，即<t<时,分别求出在这两种情况时矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积S与运动时间t之间的函数关系式，利用二次函数的性质求得这两种情况各自的最大值，再进行比较，找出最大的即为本题答案.

试题解析：

（1）当点M为AC中点时，有AM=BM,则△ABM为等腰三角形；

当点M与点C重合时，AB=BM,则△ABM为等腰三角形；

当点M在AC上且AM=2时，AM=AB,则△ABM为等腰三角形.

证明：在AB上取点K,使AK=AN，连接KN.

∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN.

又DH平分直角∠CDG，∴∠CDH=45，∴∠NDH=90+45=135.

∴∠BKN=180-∠AKN=135,∴∠BKN=∠NDH.

∵在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90，又BN⊥NH,即∠BNH=90

∴∠ANB+∠DNH=180-∠BNH=180-90=90

∴∠ABN=∠DNH.∴△BNK≌△NHD（ASA）,∴BN=NH.

①当点M在AC上时，即0<t≤时，易知：△AMF为等腰直角三角形.

∵AM=t,∴AF=FM=.

∴S=.

当点M在CG上时，即<t<时,CM=t-,MG=-t.

∵AD=DG,∠ADC=∠CDG,CD=CD,

∴△ACD≌△GCD（SAS）,

∴∠ACD=∠GCD=45

∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90

∴∠G=90-∠GCD=90-45=45

∴△MFG为等腰直角三角形.

∴

②在0<t≤范围内，当t=时，S的最大值为.

在<t<范围内，，当时，S的最大值为.

∵

∴当t=秒时，S的最大值为.

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