Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）若BC＝6，∠DOC＝60°，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC＝90°，根据矩形的判定得出即可；

（2）依据等腰三角形三线合一的性质可求得DC，然后证明△OCD为等边三角形，从而可求得AC的长，然后依据勾股定理可求得AD的长，最后利用矩形的面积公式求出即可．

（1）证明：∵点O是AC中点，

∴OA＝OC，

又∵OE＝OD，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE的是矩形．

（2）解：∵AD是等腰三角形BC边上的高，BC＝6，

∴BD＝DC＝3

∵四边形ADCE的是矩形，

∴OD＝OC＝AC．

∵∠DOC＝60°，

∴△DOC是等边三角形，

∴OC＝DC＝3，

∴AC＝6．

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，DC＝3，AC＝6，

由勾股定理得 AD＝，

∴四边形ADCE的面积S＝AD×DC＝3×＝．