Question

【题目】已知在△ABC中，∠BAC=60°，点P为边BC的中点，分别以AB和AC为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠DAB=∠EAC=α，连结PD，PE，DE．

（1）如图1，若α=45°，则=　 　；

（2）如图2，若α为任意角度，求证：∠PDE=α；

（3）如图3，若α=15°，AB=8，AC=6，则△PDE的面积为　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：(1) 分别取AB、AC中点F、G，连接DF、PF、PG、EG，证明AFPG为平行四边形，再证明△DFP和△PGE全等，再证明∠DPE=90°，最后得到△DEP是等腰直角三角形.

(2)类似（1）证明四边形AFPG为平行四边形，证明△DFP和△PGE全等，再证明∠DPE=180°﹣∠DFB，∠DFA=180°﹣∠DFB，所以∠DPE=∠DFA，所以等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中，∠PDE=∠DAF=α.

（3）同理（1）求出DP=EP长度，由（2）可得，∠PDE=α=15°=∠PED，过点E作DP的垂线，交DP的延长线于H，则∠EPH=30°，所以可求得EH= PE= ，所以可以得到△PDE的面积.

试题分析：

解：（1）分别取AB、AC中点F、G，连接DF、PF、PG、EG，则根据三角形中位线定理可得，AF=PG，AG=PF，即四边形AFPG为平行四边形，

∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°，∵Rt△ABD和Rt△ACE中，∠DAB=∠EAC=α=45°，

∴△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴DF⊥AB，EG⊥AC，且DF=AF=PG，PF=AG=EG，∴∠DFP=∠PGE=150°，

在△DFP和△PGE中， ,

∴△DFP≌△PGE（SAS），

∴DP=PE，∠GPE=∠FDP，

∵△DPF中，∠FDP+∠DPF+∠PFB=90°，而∠PFB=∠FPG，

∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=90°，即∠DPE=90°，

∴△DEP是等腰直角三角形，∴.

（2）证明：分别取AB、AC中点F、G，连接DF、PF、PG、EG，则根据三角形中位线定理可得，AF=PG，AG=PF，即四边形AFPG为平行四边形，

∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°，∵Rt△ABD和Rt△ACE中，DF=AF，GE=AG，∴DF=PG，PF=EG，∠DFB=2∠DAF=2α，∠EGC=2∠CAE=2α，

∴∠DFP=∠PGE，在△DFP和△PGE中， ，

∴△DFP≌△PGE（SAS），∴DP=PE，∠GPE=∠FDP，

∵在△DFP中，∠FDP+∠DPF+∠PFB=180°﹣∠DFB，而∠PFB=∠FPG，∴∠GPE+∠DPF+∠FPG=180°﹣∠DFB，即∠DPE=180°﹣∠DFB，

又∵∠DFA=180°﹣∠DFB，∴∠DPE=∠DFA，

∴在等腰三角形DPE和等腰三角形ADF中，∠PDE=∠DAF=α.

（3）分别取AB、AC中点F、G，连接DF、PF、PG、EG，则根据三角形中位线定理可得，AF=PG=4，AG=PF=3，即四边形AFPG为平行四边形，∴∠PFB=∠BAC=∠PGC=60°,

∵Rt△ABD和Rt△ACE中，DF=AF，GE=AG，∴DF=PG=4，PF=EG=3，∠DFB=2∠DAF=2α=30°，∠EGC=2∠CAE=2α=30°，∴∠DFP=∠PGE=90°，

∴DP=EP= =5，

由（2）可得，∠PDE=α=15°=∠PED，过点E作DP的垂线，交DP的延长线于H，则∠EPH=30°，∴EH= PE= ，∴△PDE的面积= ×DP×EH= ×5×= ．