Question

【题目】抛物线与轴交于点A，点B（1，0），与轴交于点C（0，﹣3），点M是其顶点．

（1）求抛物线解析式；

（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D的坐标；

（3）直线 (﹣3＜＜﹣1)与x轴相交于点H．与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，5）；（3）答案见解析

【解析】试题分析：（1）把B、C的坐标代入，解方程组即可得到结论；

（2）令y=0，求出A、B的坐标，设直线AD交y轴于点N，求出求直线AN的解析式， 与抛物线联立成方程组，解方程组，即可得到D的坐标；

（3）求出直线AM、AC的解析式，当x=t时，表示出HE，HF，HP，得到HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，由HE+EF﹣FP=＞0， 得到HE+EF＞FP，再由HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，得到当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形．

试题解析：解：（1）∵抛物线经过点B、C，∴ ，解得： ，∴抛物线的解析式为： ；

（2）令y=0，得： ，解得： ， ，∴A（﹣3，0），B（1，0），

设直线AD交y轴于点N，∵∠DAB=45°，∴△NAO是等腰直角三角形，N（0，3），

可求直线AN的解析式为y=x+3，

联立，解得： 或，∴D的坐标为（2，5）；

（3）M（﹣1，﹣4），

可求直线AM的解析式为：y=﹣2x﹣6，直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，

∵当x=t时，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（）

∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，

∵HE+EF﹣FP=＞0，

∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，

∴当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形．