Question

【题目】如图所示，矩形OABC的邻边OA、OC分别与x、y轴重合，矩形OABC的对称中心P(4，3)，点Q由O向A以每秒1个单位速度运动，点M由C向B以每秒2个单位速度运动，点N由B向C以每秒2个单位速度运动，设运动时间为t秒，三点同时出发，当一点到达终点时同时停止.

（1）根据题意，可得点B坐标为__________，AC＝_________；

（2）求点Q运动几秒时，△PCQ周长最小?

（3）在点M、N、Q的运动过程中，能否使以点O、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若能，请求出t值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）10 （2） （3）或

【解析】

（1）根据四边形OABC为矩形，矩形OABC的对称中心P(4，3)，即可得到B的坐标，再结合勾股定理可得AC的长.

（2）首先根据题意可得△PCQ周长等于CP、CQ、PQ的线段之和，而CP是定值，进而只要CQ和PQ的和最小即可.

（3）假设能，设出t值，利用MN=OQ，计算出t值即可.

（1）根据四边形OABC为矩形，矩形OABC的对称中心P(4，3)

可得B点的坐标为（8,6）

根据勾股定理可得

（2）设点Q运动t秒时，△PCQ周长最小

根据题意可得

要使△PCQ周长最小，则必须CQ+PQ最短，过x轴作P点的对称点P’

所以可得C、P’、Q在一条直线上

C（0,6），（4，-3）

设直线方程为

即

因此，C所在的直线为

所以Q点的坐标为（ ，0）

所以OQ=

因此t=

（3）根据题意要使点O、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形

则OQ=MN

OQ=t

MN=8-2t-2t=8-4t或MN=2t+2t-8=4t-8

所以t=8-4t或t=4t-8

所以可得t=或t=