Question

【题目】如图，已知A，B两点是直线AB与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点，且OA，OB的长分别是x2﹣14x+48=0的两个根（OA＞OB），射线BC平分∠ABO交x轴于C点，若有一动点P以每秒1个单位的速度从B点开始沿射线BC移动，运动时间为t秒．

（1）求OA，OB的长；
（2）设△APB和△OPB的面积分别为s1 ， s2 ， 求s1：s2；
（3）在点P的运动过程中，△OPB可能是等腰三角形吗？若可能，直接写出时间t；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA、OB的长是方程x2﹣14x+48=0的两根（OA＞OB），

解方程得：x1=8，x2=6，

∵OA＞OB，

∴OA=8，OB=6

（2）

解：如图1，过P点作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分别为D、H，

∵BC为∠ABO的平分线，

∴PH=PD，

∴S1：S2=AB：OB，

∵OA=8，OB=6，

∴AB=10，

∴S1：S2=AB：OB=5：3

（3）

解：如图2，过C作CD垂直AB，垂足为D，

设OC=x，则CD=x，易知BD=OB，

在直角三角形CDA中：CD2+AD2=AC2，

即x2+42=（8﹣x）2，

解得：x=3，

所以C点的坐标（3，0），

∴直线BC的解析式：y=﹣2x+6，

①BP=OB时，t=6，

②BP=OP时，P在OB的中垂线上，yp=3，代入直线BC的解析式得P（ ，3），

利用勾股定理可得BP= ，

∴t= ，

③OB=OP=6时，设P（m，﹣2m+6），

∴根据勾股定理得：m2+（﹣2m+6）2=62，

解得：m= ，

∴PB= = ，

∴t= ．

【解析】（1）解方程x2﹣14x+48=0即可得到结果；（2）根据角平分线的性质得到P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，而两个三角形的高相等，S1：S2=AB：OB=5：3；（3）过C作CD垂直AB，垂足为D设OC=x，则CD=x，易知BD=OB，根据勾股定理列方程求得C点的坐标（3，0），得到直线BC的解析式：y=﹣2x+6，然后分三种情况逐一解答①当BP=OB=6时，得到t=6，②点BP=OP时，P在OB的中垂线上，得到yp=3，代入直线BC的解析式得P（ ，3），利用勾股定理可得BP= ，即可得到t的值；③当OB=OP=6时，设P（m，﹣2m+6），根据勾股定理列方程m2+（﹣2m+6）2=62 ， 解得m= ，然后再根据勾股定理得到PB= = ，求得结果．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．