Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点C′，连接CC′交AD于点F，BC′与AD交于点E．

（1）求证：△BAE≌△DC′E；

（2）写出AE与EF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若CD＝2DF＝4，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE＝EF，见解析；（3）S矩形ABCD＝32．

【解析】

（1）根据AAS证明△BAE≌△DC′E即可．

（2）证明AE＝EC′，EC′＝EF即可．

（3）证明△CDF∽△BCD，再利用相似三角形的性质求出BC即可解决问题．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠A＝∠BCD＝90°

由翻折的性质可知：CD＝C′D，∠BCD＝∠BC′D＝90°，

∴∠A＝∠DC′E＝90°，AB＝C′D，

∵∠AEB＝∠DEC′，

∴△BAE≌△DC′E（AAS）．

（2）解：结论：AE＝EF．

理由：∵△BAE≌△DC′E，

∴AE＝EC′，

∵BC＝BC′，

∴∠BCC′＝∠BC′C，

∵EF∥BC，

∴∠EFC′＝∠BCC′，

∴∠EC′F＝∠EFC′，

∴EF＝EC′，

∴AE＝EF．

（3）解：由翻折可知：BD⊥CC′，

∴∠FCD+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，

∴∠FCD＝∠CBD，

∵∠CDF＝∠BCD＝90°，

∴△CDF∽△BCD，

∴，

∴，

∴BC＝8，

∴S矩形ABCD＝BCCD＝32．