【题目】如图，已知一条直线过点，且与抛物线交于两点，其中点的横坐标是.

⑴求这条直线的函数关系式及点的坐标 ；

⑵在轴上是否存在点 ,使得△是直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

⑶过线段上一点,作∥轴，交抛物线于点,点在第一象限；点，当点的横坐标为何值时， 的长度最大？最大值是多少？

参考答案：

【答案】（1）点的坐标为；（2）；（3）当的横坐标为6时， 的长度最大值为18.

【解析】⑴关键是求直线的解析式，由于直线上有一点为，所以再找一个点即可求出直线的解析式； 的横坐标是代入抛物线的解析式即可求出它的纵坐标，利用待定系数法可求直线的函数关系式；由于点是两个函数图象的交点，所以把两个函数联立起来，利用方程思想可以解决问题.

⑵先假设存在，在假设存在的情况下还要分类讨论，因为没有指明直角顶点，所以要分成三种情况来讨论，利用勾股定理建立方程可以解决问题.

⑶利用的横坐标分别表示出线段的长度，再利用建立函数关系，再根据函数关系来求最值.

解：⑴∵直线与抛物线交点的横坐标是，

∴，

∴点的坐标是

设此直线的解析式为，

将 代入得 ，

解得： ，

∴此直线的解析式为.

∵直线和抛物线交于两点,

∴

解得： 或

∴点的坐标为 .

⑵.如备用图，点在轴上，连接 .

∵的坐标是，点的坐标为 ,

∴ ,

若设存在的点的坐标为，则：

，

,

①.当时， ,即 ,

解得： .

②.当时， ,即

解得： 或.

③.当时， ,即

解得： .

∴求出点的坐标为 .

⑶.设点 ，设与轴的交点为;

在△中,由勾股定理的： ,

又∵点与点的纵坐标相同，∴ ,

∴，即点的横坐标为,

∴ ,

∴,

∴当时，又∵，取值最大值取到18.

∴当的横坐标为6时， 的长度最大值为18.

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