Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个根，且OA＞OC．

（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣12x+32=0得，x1=8，x2=4，∵OA＞OC，

∴OA=8，OC=4；

（2）

证明∵四边形ABCO是矩形，

∴AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，

∵把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，

∴AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，

∴AD=OC，∠ADE=∠COE，

在△ADE与△COE中， ，

∴△ADE≌△COE；

∵CE2=OE2+OC2，即（8﹣OE）2=OE2+42，

∴OE=3；

（3）

解：过D作DM⊥x轴于M，

则OE∥DM，

∴△OCE∽△MCD，

∴ ，

∴CM= ，DM= ，

∴OM= ，

∴D（﹣ ， ）；

（4）

解：存在；∵OE=3，OC=4，

∴CE=5，

过P1作P1H⊥AO于H，

∵四边形P1ECF1是菱形，

∴P1E=CE=5，P1E∥AC，

∴∠P1EH=∠OAC，

∴ = = ，

∴设P1H=k，HE=2k，

∴P1E= k=5，

∴P1H= ，HE=2 ，

∴OH=2 +3，

∴P1（﹣ ，2 +3），

同理P3（ ，3﹣2 ），

当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，

∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，

∴P2（4，5）；

当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，

∴EP4=5，EP4∥AC，

如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，

则P4N=OG，P4G=ON，

EP4∥AC，

∴ = ，

设P4N=x，EN=2x，

∴P4E=CP4= x，

∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，

∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（ x）2，

∴x= ，

∴3﹣2x= ，

∴P4（ ， ），

综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣ ，2 +3），（ ，3﹣2 ），（4，5），（ ， ）．

【解析】（1）解方程即可得到结论；（2）由四边形ABCO是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根据勾股定理得到OE=3；（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，根据相似三角形的性质得到CM= ，DM= ，于是得到结论．（4）过P1作P1H⊥AO于H，根据菱形的性质得到P1E=CE=5，P1E∥AC，设P1H=k，HE=2k，根据勾股定理得到P1E= k=5，于是得到P1（﹣ ，2 +3），同理P3（ ，3﹣2 ），当A与F重合时，得到P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，得到EP4=5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，根据勾股定理即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半，以及对相似三角形的应用的理解，了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．