Question

【题目】已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，4），与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式
（2）点F在第三象限的抛物线上，且S△BEF=15，求点F的坐标

（3）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AE交抛物线于点Q，若以A，P，Q，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点Q的坐标；如果没有，请通过计算说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线解析式y=ax2+bx+c，把点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，4）代入得：

，

解得： ，

∴抛物线的解析式是y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：设x轴上有一点G，使得S△EGB=15，

∵EO=3，

∴BG=10，

∵BO=3，

∴OG=7，

∴点G坐标是（﹣7，0），

过G作GF∥BE，交第三象限抛物线于点F，

设直线BE的解析式为y=kx+b，

由点B（3，0），点E坐标（0，3）可得y=﹣x﹣3，

∴直线GF解析式为y=﹣x﹣7，

联立抛物线和直线GF的解析式得： ，

解得：x=﹣2，y=﹣5或x=5，y=12，

∵点F在第三象限的抛物线上，

∴点F的坐标是（﹣2，﹣5）；

（3）

解：∵直线l∥AC，

∴PQ∥AC且PQ=AC，

∵A（﹣1，0），C（0，3），

∴设点P的坐标为（x，0），

则①若点Q在x轴上方，则点Q的坐标为（x+1，3），

此时，﹣（x+1）2+2（x+1）+3=3，

解得x1=﹣1（舍去），x2=1，

所以，点Q的坐标为（2，3），

②若点Q在x轴下方，则点Q的坐标为（x﹣1，﹣3），

此时，﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）+3=﹣3，

整理得，x2﹣4x﹣3=0，

解得x1=2+ ，x2=2﹣ ，

所以，点Q的坐标为（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3），

综上所述，点Q的坐标为（2，3）或（1+ ，﹣3）或（1﹣ ，﹣3）．

【解析】（1）设抛物线解析式y=ax2+bx+c，把点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，4），分别代入求出a，b，c的值即可求出抛物线的解析式；（2）设x轴上有一点G，使得S△EGB=15，易求点G的坐标，过点G作GF∥BE，交第三象限抛物线于点F，求出直线GF解析式，即可求出点F的坐标（3）分点P在点Q的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点A、C的坐标关系，用点P的坐标表示出点Q的坐标，然后把点Q的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【考点精析】关于本题考查的确定一次函数的表达式和三角形的面积，需要了解确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；三角形的面积=1/2×底×高才能得出正确答案．