Question

【题目】将一块正方形和一块等腰直角三角形如图1摆放．

（1）如果把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°，得到图2，则∠GBM=；

（2）将△BEF绕点B旋转．
①当M，N分别在AD，CD上（不与A，D，C重合）时，线段AM，MN，NC之间有一个不变的相等关系式，请你写出这个关系式：；（不用证明）
②当点M在AD的延长线上，点N在DC的延长线时（如图3），①中的关系式是否仍然成立？若成立，写出你的结论，并说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45°
（2）MN=AM+CN
【解析】解：（1）在正方形ABCD和等腰直角△BEF中，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
由旋转的性质得∠GBA=∠CBN，
∴∠ABM+∠GBA=45°，
即∠GBM=45°，
所以答案是：45°；
⑵①AM+NC=MN；
理由：∵把图1中的△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAB=∠C=90°，AG=CN，BG=BN，∠ABG=∠CBN，
∴∠GAB+∠DAB=180°，
∴D，A，G三点共线，
∴∠ABM+∠GBA=45°，
∴∠GBM=∠MBN，
在△GBM与△NBM中， ，
∴△GBM≌△NBM，
∴GM=MN，
∵GM=AG+AM=CN+AM，
∴MN=AM+CN；
所以答案是：MN=AM+CN；
②上面的式子不成立，结论是：AM﹣NC=MN，
理由：在AM上截取AG，使得AG=CN，连结BG；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCN=90°，
在△BAG与△BCN中， ，
∴△BAG≌△BCN，
∴BG=BN，∠ABG=∠NBC，
∴∠MBN=∠MBC+∠CBN=∠MBC+∠ABG=45°=∠GBM，
在△BGM与△BMN中，
，
∴△BGM≌△BNM，
∴GM=NM，
∴AM﹣CN=MN．

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和旋转的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．