Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：射线ON是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转至图3，使射线ON恰好平分锐角∠AOC，求此时旋转一共用了多少时间？

（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）平分，理由见解析；（2）此时旋转一共用了59秒；（3）∠AOM﹣∠NOC=22°，理由见解析

【解析】

（1）延长NO到点D，先得出∠MOB为直角，再利用∠MOB和∠MOC，可分别求出∠NOB和∠COD的大小，最后求出∠AOD的大小，得到平分；

（2）先求出旋转的角度，然后用角度除速度即可；

（3）∠AOM和∠NOC都用含∠AON的式子表示出来，代入抵消可得结果

解：（1）平分，理由：延长NO到D，

∵∠MON=90°∴∠MOD=90°

∴∠MOB+∠NOB=90°，

∠MOC+∠COD=90°，

∵∠MOB=∠MOC=56° ∴∠NOB=∠COD=34°，

∵∠AOD=180°-∠BOC-∠COD=34°，

∴∠COD=∠AOD， ∴直线NO平分∠AOC；

（2）如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=34°，

∴∠AOM=56°， 即逆时针旋转的角度为：180°+56°=236°，

由题意得，236÷4=59（秒）

答：此时旋转一共用了59秒

（3）∠AOM﹣∠NOC=22°，

理由：∵∠AOM=90°﹣∠AON ∠NOC=68°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC

=（90°﹣∠AON）﹣（68°﹣∠AON）

=22°．