Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF=45°，对角线BD交AE于点M，交AF于点N．若AB=4，BM=2，则MN的长为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】如图，延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH，如图所示：

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在RT△ABG和RT△ADF中，

∴Rt△ABG≌Rt△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，∠7=∠G，AF=AG，
∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AMN和△AMH中，

∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN=MH，
∵AF=AG，AN=AH，
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH，
在△DFN和△BFH中，

∴△DFN≌△BGH（SAS），
∴∠6=∠4=45°，DN=BH，
∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG-∠6+∠5=90°-45°+45°=90°
∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2，

∵BD= =8,

∴22+(8-2-MN)2=MN2,

∴MN= ；

故答案是。