Question

【题目】在平面直角坐标系中，点坐标为，以原点为顶点的四边形是平行四边形，将边沿轴翻折得到线段，连结交线段于点.

（1）如图1，当点在轴上，且其坐标为.

①求所在直线的函数表达式；

②求证：点为线段的中点；

（2）如图2，当时，，的延长线相交于点，试求的值.（直接写出答案，不必说明理由）

Answer 1

【答案】（1）①；②详见解析；（2）

【解析】

（1）①根据四边形是平行四边形，得，根据 ，，得.根据翻折得到线段，得.设直线的函数表达式为，利用待定系数法确定函数关系式即可求解；

②根据平行四边形的性质求证，即可得点为线段的中点.

（2）连接交轴于点.证明为的中点，得出点为线段的中点，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理得到，还可得到等腰直角，故，求得.

解：（1）①∵四边形是平行四边形，

∴，.

又∵点落在轴上，

∴轴，∴轴.

∵，，∴.

又∵边沿轴翻折得到线段，

∴.

设直线的函数表达式为，

∴，解得.

∴所在直线的函数表达式为.

②证明：∵四边形是平行四边形，∴，，

∴.

∵边沿轴翻折得到线段，

∴，∴.

又∵，∴，

∴，即点为线段的中点.

（2）.

连接交轴于点.∴为的中点；

∴由（1）可得出点为线段的中点，

∵边沿轴翻折得到线段且，

∴，.

∵，∴.

过点作交于点，可得，得到等腰直角.

∴.

∴.