Question

【题目】已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（　　）

A. B. C. 或 D. 或

Answer 1

【答案】B

【解析】根据题意，本题需分点（1）A为等腰三角形的顶点，点D为等腰三角形底边的中点；（2）点A为等腰三角形底边的中点，点D为等腰三角形的顶点；两种情况来讨论：

（1）如图1，当点A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，设BD=DC=a，AB=AC=b，则BE=b-2，CF=b-4，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，

∴点B与点C，点E与点D，点D与点F为对应点，即△BED∽△CDF，

∴BE:CD=BD:CF，即(b-2):a=a(b-4)=3:2，解得：a= ，

∴BC=2a= ，该等腰三角形的底边长为： .

，
（2）如图2，当点D为等腰三角形的顶点，点A为底边中点时，设AB=AC=a，BD=CD=b，则BE=b-3，CF=b-2,

∵BD=CD，

∴∠B=∠C，

∴点B与点C为对应点，

①若点E与点F、点A与点C为对应点，则△BEA∽△CFA，

∴BE:CF=EA:FA=BA:CA，即(b-3):(b-2)=a:a=2:4，此时a、b无解，故此种情况不成立；

②若点E与点A，点A与点F为对应点，由△BEA∽△CAF，

∴BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b-3）：a=2：4=a：（b-2），解得：a=，b=，则此时AB=，BE=，
又∵AE=2，

∴此时AB、BE、AE不能围成三角形，故此种情况不成立；

综上所述，这个等腰三角形底边长为： .

故选B.