Question

【题目】如图，以△ABC的三边为边在BC同侧分别作等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．

(1)四边形ADEF为__________四边形；

(2)当△ABC满足条件____________时，四边形ADEF为矩形；

(3)当△ABC满足条件____________时，四边形ADEF为菱形；

(4)当△ABC满足条件____________时，四边形ADEF不存在．

Answer 1

【答案】(1)平行；(2)∠BAC=150°；(3)AB=AC且∠BAC≠60°；(4)∠BAC=60°.

【解析】

（1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；

（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）利用菱形的性质与判定得出即可；

（4）根据∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．

（1）证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，

∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．

在△ABC和△DBE中

，

∴△ABC≌△DBE（SAS）．

∴DE=AC．

又∵AC=AF，

∴DE=AF．

同理可得EF=AD．

∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，

∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，

∴∠FAD=90°．

∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．

则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

故答案为：∠BAC=150°；

（3）当AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形，

理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，

∵AC=AB，

∴AD=AF，

∵四边形ADEF是平行四边形，AD=AF，

∴平行四边形ADEF是菱形．

故答案为：AB=AC且∠BAC≠60°（或AB=AC≠BC）；

（4）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，

此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在；

故答案为：∠BAC=60°．