Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由；

（3）在运动过程中，四边形BEDF能否为正方形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当t=10时，四边形AEFD是菱形；（3）四边形BEDF不能为正方形，理由见解析.

【解析】

（1）由已知条件可得RT△CDF中∠C=30°，即可知DF= CD=AE=2t；

（2）由（1）知DF∥AE且DF=AE，即四边形ADFE是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即AD=AE，可得关于t的方程，求解即可知；

（3）四边形BEDF不为正方形，若该四边形是正方形即∠EDF=90°，即DE∥AB，此时AD=2AE=4t，根据AD+CD=AC求得t的值，继而可得DF≠BF，可得答案．

(1)∵Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°，

∴∠C=90°∠A=30°.

又∵在Rt△CDF中,∠C=30°，CD=4t

∴DF=CD=2t，

∴DF=AE；

(2)∵DF∥AB，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，

即604t=2t，解得：t=10，

即当t=10时，四边形AEFD是菱形；

(3)四边形BEDF不能为正方形，理由如下：

当∠EDF=90°时,DE∥BC.

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t+4t=60，

∴t= 时,∠EDF=90°

但BF≠DF，

∴四边形BEDF不可能为正方形。