Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为 cm，AC=8cm，设运动时间为t秒．
（1）求证：NQ=MQ；
（2）填空： ①当t=时，四边形AMQN为菱形；
②当t=时，NQ与⊙O相切．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB⊥MN，

∴PM=PN

∴AB垂直平分MN，

∴NQ=MQ；

（2） ；2
【解析】（2）解：①AP=t，CQ=t，则PQ=8﹣t﹣t=8﹣2t，

∵AQ⊥MN，PM=PN，

∴当AP=PQ时，四边形AMQM为菱形，

即t=8﹣2t，解得t= ；②作OH⊥QN于H，如图，

OQ=AC﹣AO﹣CQ=8﹣ ﹣t= ﹣t，OP=t﹣ ，

当ON⊥QN时，QN为⊙O的切线，

∵∠NOQ=∠PON，

∴△ONP∽△OQN，

∴OP：ON=ON：OQ，

即（t﹣ ）： = ：（ ﹣t），

整理得t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去），

∴t=2时，NQ与⊙O相切