Question

【题目】把顺序连结四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形。

（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？

（2）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是菱形？

（3）符合什么条件的四边形，它的中点四边形是矩形？

Answer 1

【答案】（1）平行四边形；理由见解析；（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；（3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形.

【解析】

（1）连接BD、由点E、H分别为边AB、AD的中点，同理知FG∥BD、FG=BD，据此可得EH=FG、EH∥FG，即可得证；

（2）同理根据对角线相等，可知邻边相等，中点四边形是菱形；

（3）同理根据对角线互相垂直，可知有一个角是直角，中点四边形是矩形．

（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形，理由是：

如图1，连接BD，

∵点E、H分别为边AB、AD的中点，

∴EH∥BD、EH=BD，

∵点F、G分别为BC、DC的中点，

∴FG∥BD、FG=BD，

∴EH=FG、EH∥FG，

∴中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）当原四边形的对角线相等时，它的中点四边形是菱形；

证明：与（1）同理：EH=FG=BD=AC=EF=HG，得它的中点四边形是菱形；

（3）当原四边形的对角线互相垂直时，它的中点四边形是矩形；

证明：与（1）同理：EH∥FG∥BD，AC∥EF∥HG，

∵AC⊥BD，

∴EH、FG分别与EF、HG垂直，

∴得它的中点四边形是矩形．