Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．

（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD=90°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得二次函数图象的对称轴x=1，则﹣ =1，b=﹣2．

又二次过点C（0，﹣3），

∴﹣3=c，c=﹣3．

即二次函数解析式为：y=x2﹣2x﹣3

由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，得

顶点坐标D为：（1，﹣4）；

（2）

解：解法一：设P（0，m）

由题意，得PA= ，PD= ，AD=2 ，

∵∠APD=90°，∴PA2+PD2=AD2，即（ ）2+（ ）2=（2 ）2

解得m1=﹣1，m2=﹣3（不合题意，舍去）．

∴P（0，﹣1）；

解法二：

如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，

则由题意，得 DE=1，OE=4…

由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°，

由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OAP=∠EPD

又∠AOP=∠OED=90°，

∴△OAP∽△EPD

∴ = ，

设OP=m，PE=4﹣m

则 = ，

解得m1=1，m2=3（不合题意，舍去），

∴P（0，﹣1）；

（3）

解：解法一：

如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA=AQ=PD=QD= ，∠PAQ=90°，

∴四边形APDQ为正方形．

由∠QAP=90°，得∠HAQ+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OPA=∠HAQ，又∠AOP=∠AHQ=90°，PA=QA

∴△AOP≌△AHQ，

∴AH=OP=1，QH=OA=3．

∴Q（4，﹣3）；

解法二：

设Q（m，n），

则AQ= = ，QD= = ，

解得 ， （不合题意，舍去），

∴Q（4，﹣3）．

【解析】（1）根据对称轴的定义求得b=﹣2，把点C的坐标代入求得c=﹣3；将一般式方程转化为顶点式方程即可得到点D的坐标；（2）设P（0，m），由勾股定理分别表示PA，PD，AD的长，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；（3）作QH⊥x轴，垂足为点H，由勾股定理求出PA=PD= ，又∠PAQ=90°，可证△PAD为等腰直角三角形，由翻折的性质可知四边形APDQ为正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用线段相等关系求Q点坐标．