Question

【题目】如图①，直线y= x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；
（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC ， 记S=S四边形MAOC﹣S△BOC ， 求S最大时点M的坐标及S的最大值；
（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2 ， 点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0代入y= x+4，

∴x=﹣3，A（﹣3，0），

令x=0，代入y= x+4，∴y=4，∴C（0，4），

设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+4

（2）

解：如图1

，

设点M（a，﹣ a2﹣ a+4），其中﹣3＜a＜0

∵B（1，0），C（0，4），

∴OB=1，OC=4

∴S△BOC= OBOC=2，

过点M作MD⊥x轴于点D，

∴MD=﹣ a2﹣ a+4，AD=a+3，OD=﹣a，

∴S四边形MAOC= ADMD+ （MD+OC）OD

= ADMD+ ODMD+ ODOC

= MD（AD+OD）+ ODOC

= MDOA+ ODOC

= ×3（﹣ a2﹣ a+4）+ ×4×（﹣a）

=﹣2a2﹣6a+6

∴SS四边形MAOC﹣S△BOC

=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2

=﹣2a2﹣6a+4

=﹣2（a+ ）2+

∴当a=﹣ 时，S有最大值，最大值为 ，此时，M（﹣ ，5）

（3）

解：如图2

，

由题意知：M′（ ，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），

∴AB′=2

设直线A′C的解析式为：y=kx+b，把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，

得： ，

∴

∴y=﹣ x+4，

令x= 代入y=﹣ x+4，

∴y=2，∴D（ ，2）

由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=

设P（m，0），当m＜3时，此时点P在A′的左边，

∴∠DA′P=∠CAB′，

当 = 时，△DA′P∽△CAB′，此时， = （3﹣m），

解得：m=2，

∴P（2，0）

当 = 时，△DA′P∽△B′AC，此时， = （3﹣m）

m=﹣ ，

∴P（﹣ ，0）

当m＞3时，此时，点P在A′右边，由于∠CB′O≠∠DA′E，

∴∠AB′C≠∠DA′P，

∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，

综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣ ，0）

【解析】（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A．C点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据待定系数法，可得函数解析式，根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和相似三角形的性质，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形即可以解答此题．