Question

【题目】已知：如图，在ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G．

（1）求证：AE⊥DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质推出∠ADC+∠DAB=180°，根据角平分线得到∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出结论；

（2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，得到平行四边形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根据平行四边形的性质和平行线的性质推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的长，根据勾股定理即可求出答案．

试题解析：（1）∵在ABCD中，AB∥CD，

∴∠ADC＋∠DAB＝180°，

∵DF，AE分别是∠ADC，∠DAB的平分线，

∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，

∴∠ADF＋∠DAE＝（∠ADC＋∠DAB）＝90°，

∴∠AGD＝90°，即AE⊥DF；

（2）如图，过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH，

∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝10，

∵在ABCD中，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAE＝∠BEA，

∴∠CDF＝∠CFD，∠BAE＝∠BEA，

∴DC＝FC，AB＝EB，

在ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝DC＝6，∴CF＝BE＝6，BF＝BC－CF＝10－6＝4，

∴FE＝BE－BF＝6－4＝2，∴FH＝FE＋EH＝12，

在Rt△FDH中，DF＝ .