Question

【题目】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD，BE，CD交于点F．

（1）求证： ；

（2）请探究线段DE，CE的数量关系，并说明理由；

（3）若CD⊥AB，AD=2，BD=3，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE=CE，理由见解析；（3）．

【解析】试题分析：(1)证明△ABE∽△ACD，从而得出结论;

(2) 先证明∠CDE=∠ACD，从而得出结论；

（3）解直角三角形示得.

试题解析：

（1）∵∠ABE=∠ACD，∠A=∠A，

∴△ABE∽△ACD，

∴；

（2）∵，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴∠AED=∠ABC，

∵∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，

∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，

∵∠ABE=∠ACD，

∴∠CDE=∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠CDE=∠ABE=∠ACD，

∴DE=CE；

（3）∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°，

∵∠ABE=∠ACD，∠CDE=∠ACD，

∴∠A=∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°，

∴AE=DE，BE⊥AC，

∵DE=CE，

∴AE=DE=CE，

∴AB=BC，

∵AD=2，BD=3，

∴BC=AB=AD+BD=5，

在Rt△BDC中， ，

在Rt△ADC中， ，

∴，

∵∠ADC=∠FEC=90°，

∴，

∴．