Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF=2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为　 　．

Answer 1

【答案】．

【解析】分析：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，根据对称的性质得到∠DMF=∠GMD，根据余角的性质得到∠FMD=∠BAE=∠AMN，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．

详解：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M ，

则GN的长度等于MN+MF的最小值，

∵△DGM≌△DFM， ∴∠DMF=∠GMD ， ∵∠GMD=∠AMN ，

∵∠AMN+∠MAN=∠MAN+∠BAE=90 ，∴∠FMD=∠BAE=∠AMN ，

∴△ABE∽△DMF∽△AMN ， ∴， ∵AB=6， ∴BE=3，

∵DF=2， ∴DM=4， ∴AM=2， ∵， ∴MN=，

∵GM=，

∴GN=GM+MN=MN+MF=， ∴MN+MF 的最小值为．