Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.MN是过点A的直线，BD⊥MN 于D，CE⊥MN于E.

（1）求证：BD=AE.

（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G(如图2)，其他条件不变，求证：BD=AE.

（3）在(2)的情况下，若CE的延长线过AB的中点F（如图3），连接GF，求证：∠AFE=∠BFG.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解.

【解析】

（1）首先证明∠1=∠3，再证明△ADB≌△CEA，然后根据全等三角形的性质可得BD=AE；

（2）首先证明∠BAD=∠ACE，再证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE；

（3）首先证明△ACF≌△BAP，然后再证明△BFG≌△BPG，再根据全等三角形对应角相等可得∠BPG=∠BFG，再根据等量代换可得结论∠BFG=∠AFE．

证明：（1）如图，

∵BD⊥MN，CE⊥MN，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠1+∠2=90°，

又∵∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

在△ADB和△CEA中，，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴BD=AE；

（2）如图，

∵BD⊥MN，CE⊥MN，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAD+∠CAE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠BAD=∠ACE，

在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE；

（3）过B作BP∥AC交MN于P，

∵BP∥AC，

∴∠PBA+∠BAC=180°，

∵∠BAC=90°，

∴∠PBA=∠BAC=90°，

由（2）得：∠BAP=∠ACF，

∴在△ACF和△BAP中，

∴△ACF≌△BAP（ASA），

∴∠AFC=∠BPA，AF=BP

∵BF=AF，

∴BF=BP，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

又∵∠PBA=90°，

∴∠PBG=45°，

∴∠ABC=∠PBG，

在△BFG和△BPG中，

∴△BFG≌△BPG（SAS），

∴∠BPG=∠BFG，

∵∠BPG=∠AFE，

∴∠BFG=∠AFE．