Question

【题目】如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA= ，反比例函数y= （k＞0）的图象过CD的中点E．

（1）求证：△AOB≌△DCA；
（2）求k的值；
（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴，

∴∠AOB=∠DCA=90°，

在Rt△AOB和Rt△DCA中

，

∴Rt△AOB≌Rt△DCA

（2）

解：在Rt△ACD中，CD=2，AD= ，

∴AC= =1，

∴OC=OA+AC=2+1=3，

∴D点坐标为（3，2），

∵点E为CD的中点，

∴点E的坐标为（3，1），

∴k=3×1=3；

（3）

解：点G在反比例函数的图象上．理由如下：

∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，

∴△BFG≌△DCA，

∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，

而OB=AC=1，

∴OF=OB+BF=1+2=3，

∴G点坐标为（1，3），

∵1×3=3，

∴G（1，3）在反比例函数y= 的图象上．

【解析】（1）利用“HL”证明△AOB≌△DCA；（2）先利用勾股定理计算出AC=1，再确定C点坐标，然后根据点E为CD的中点可得到点E的坐标为（3，1），则可根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k=3；（3）根据中心对称的性质得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°，则可得到G点坐标为（1，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断G点是否在函数y= 的图象上．