Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．

（1）若BF=BD=，求BE的长；

（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．

Answer 1

【答案】（1）BE=2-；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）由四边形ABCD正方形，BF=BD=，由勾股定理即可求得BC的长，又由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；

（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易证得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易证得△DHI为等边三角形，即可得DH=HI，继而可得FH=HE+HD．

详解：（1）解：∵四边形ABCD正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD，∴Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，即BC2=（）2﹣（BC）2，∴BC=AB=1．∵DF⊥DE，∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF=BF﹣BC=﹣1，∴BE=AB﹣AE=1﹣（﹣1）=2﹣；

（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH．∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC．∵∠DHE=∠BHF，∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理）．在△DEH和△DFI中，∵，∴△DEH≌△DFI（SAS），∴DH=DI．又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，∴∠HDE=∠BFE=∠ADE．∵∠HDE+∠ADE=45°，∴∠HDE=15°，∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，即△DHI为等边三角形，∴DH=HI，∴FH=FI+HI=HE+HD．