Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．

(1)求证：△ABM≌△DCM；

(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

(3)当AD∶AB＝__________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形MENF是菱形．（3）2：1．

【解析】试题分析：（1）根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；（2）由（1）得出BM=CM，再根据三角形的中位线定理得出EN=MF，EM=FN，先证四边形MENF是平行四边形，再证ME＝MF，从而可得平行四边形MENF是菱形；（3）当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．可以利用正方形的性质得到MA=AB=MD，从而确定AD：AB的值．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，

∵M为AD中点，∴AM＝DM，

在△ABM和△DCM，

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

答：四边形MENF是菱形．

证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，

∴NE∥CM，，

∴NE＝FM，NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形，

∵△ABM≌△DCM，

∴BM＝CM，

∵E、F分别是BM、CM的中点，

∴ME＝MF，

∴平行四边形MENF是菱形；

解：当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由是：

∵四边形MENF是正方形，

∴∠EMF=90°，

由（1）知：Rt△ABM≌Rt△DCM（SAS），

∴∠AMB=∠DMC=45°，

此时MA=MD=DC，

∴AD=2DC，即AD∶AB＝2∶1．