Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点（不与点A、C重合），连接PD，过点P作PE⊥PD交射线BC于点E．

（1）如图1，求证：PD＝PE；

（2）若正方形ABCD的边长为4，，求CE长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）如图1中，连接PB，利用△APB≌△APD推出PB=PD，再证明PB=PE即可解决问题．

（2）可通过构建等腰直角三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，可得AG=BF=PG=1．而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，从而CE=BC-2AG=4-2=2．

1）如图1中，连接PB．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°

在△APB和△APD中，

，

∴△APB≌△APD，

∴PB=PD，∠ADP=∠ABP，

∴∠PBC=∠PDC，

∵∠DPE=∠BCD=90°，

∴∠PEC+∠PDC=180°，∠PEB+∠PEC=180°，

∴∠PEB=∠PDC，

∴∠PBC=∠PEB，

∴PB=PE，

∴PD=PE．

（2）过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．

又∵AP=，AD=4，

∴GP=AG=BF=1，GD=FC=FP=41=3，

又∵PB=PE，PF⊥BE

∴BF=FE，

∴CE=4-2=2.