Question

【题目】探索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．

发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；

小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB

∴∠APQ=∠A（ ）

∵PQ∥AB，AB∥CD．

∴PQ∥CD（ ）

∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．

∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是 ．

应用：

在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为 ；

在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为 ；

拓展：

在图4中，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；小明的证法；100°；40°；

∠APC=∠A﹣∠C

【解析】

试题分析：过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可

试题解析：如图1，过点P作PQ∥AB， ∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）

∵PQ∥AB，AB∥CD. ∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C，

故两人的证明过程中，完全正确的是小明的证法；

如图2，过点P作PE∥AB， ∴∠APE+∠A=180°，∠A=120°，∴∠APE=60°，

∵PE∥AB，AB∥CD. ∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）

∴∠CPE+∠C=180°，∠C=140°，∴∠CPE=40°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=100°；

如图3，过点P作PF∥AB， ∴∠APF=∠A， ∵PF∥AB，AB∥CD. ∴PF∥CD，

∴∠CPF=∠C ∴∠CPF﹣∠APF=∠C﹣∠A 即∠APC=∠C﹣∠A=40°；

如图4，过点P作PG∥AB， ∴∠APG+∠A=180°，∴∠APG=180°﹣∠A

∵PG∥AB，AB∥CD， ∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）

∴∠CPG+∠C=180°，∴∠CPG=180°﹣∠C ∴∠APC=∠CPG﹣∠APG=∠A﹣∠C．