Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；请证明．

（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问（2）中DE、AD、BE的关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，它们又具有怎样的等量关系？请证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=BE﹣AD．

【解析】

（1）证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；

（2）证明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；

（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE﹣AD．

（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

又直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

∵，

∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CD+CE=AD+BE；

（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

（3）如图3．

∵△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD；

DE、AD、BE之间的关系为DE=BE﹣AD．