Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AF=BD．

（2）求证：四边形ADCF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由“AAS”可证△AFE≌△DBE，从而得AF=BD

（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质的AD＝DC，即可证明四边形ADCF是菱形。

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE

∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，

∴AE=DE，BD=CD

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS））

∴AF=BD

（2）由（1）知，AF=BD，且BD=CD，

∴AF=CD，且AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形

∵∠BAC=90°，D是BC的中点，

∴AD＝BC＝DC

∴四边形ADCF是菱形