Question

【题目】如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．点 P 在线段 AB 上以 1的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 （s）．

（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；

（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为，是否存在实数，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，或

【解析】

（1）在t =1的条件下，找出条件判定△ACP和△BPQ全等，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质，可证∠CPQ= 90°，即可判断线段 PC 和线段 PQ 的位置关系;
（2）本题主要在动点的条件下，分情况讨论，利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.

(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,

又∠A=∠B= 90°，

在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ(SAS).

∴∠ACP=∠BPQ ,

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.

∴∠CPQ= 90°，

即线段PC与线段PQ垂直；

(2)①若△ACP≌△BPQ，

则AC= BP，AP= BQ，

解得;

②若△ACP≌△BQP，

则AC= BQ，AP= BP，

解得：

综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.