Question

【题目】请阅读如下材料.

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD于点O，E是AC上一点，AG⊥BE，垂足为G.求证：OE=OF.

证明：∵四边形ABCD是正方形.

∴∠BOE=∠AOF=90°,且OA=OE.

又∵AG⊥BE，∴∠1+∠3＝90°＝∠2+∠3，即∠1＝∠2.

∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF.

⑴根据你的理解，上述证明思路的核心是利用 使问题得以解决，而证明过程中的关键是证出 .

⑵若上述命题改为：点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB的延长线于点G，延长AG交DB的延长线于点F，如图，其他条件不变.

求证：OF=OE.

Answer 1

【答案】⑴三角形全等，∠1＝∠2；（2）见解析；

【解析】试题分析：（1）根据正方形的对角线相等且、互相垂直平分证明出∠1=∠2；再根据AAS证明出Rt△BOE≌Rt△AOF，根据全等三全等的性质即可证明OE=OF；

（2）根据正方形的四边相等，每条对角线平分一组对角，证明出∠ABF=∠BCE，从而证明出△ABF≌△BCE，根据全等三全等的性质即可证明OE=OF.

试题解析：（1）上述证明思路的核心是利用全等三角形的性质使问题得以解决，而证明过程中的关键是证出∠1=∠2；

故答案为：全等三角形的性质使问题得以解决；∠1=∠2.

（2）∵ABCD是正方形，

∴∠ABO=∠ACB=45° ，AB=BC， OB=OC，

∴∠ABF=∠BCE=135° ，

∵∠OAF+∠F=90° ，∠OAF+∠E=90°，

∴△ABF≌△BCE(AAS)

∴BF=CE，

∴BF+OB=CE+OC，即OE=OF.