Question

【题目】如图，折叠边长为a的正方形ABCD，使点C落在边AB上的点M处（不与点A，B重合），点D落在点N处，折痕EF分别与边BC、AD交于点E、F，MN与边AD交于点G．证明：

（1）△AGM∽△BME；
（2）若M为AB中点，则 ；
（3）△AGM的周长为2a．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=90°，

∴∠AMG+∠AGM=90°，

∵EF为折痕，

∴∠GME=∠C=90°，

∴∠AMG+∠BME=90°，

∴∠AGM=∠BME，

在△AGM与△BME中，

∵∠A=∠B，∠AGM=∠BME，

∴△AGM∽△BME；

（2）解：∵M为AB中点，

∴BM=AM= ，

设BE=x，则ME=CE=a﹣x，

在Rt△BME中，∠B=90°，

∴BM2+BE2=ME2，即（ ）2+x2=（a﹣x）2，

∴x= a，

∴BE= a，ME= a，

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴ = ，

∴AG= BM= a，GM= ME= a，

∴ ；

（3）解：设BM=x，则AM=a﹣x，ME=CE=a﹣BE，

在Rt△BME中，∠B=90°，

∴BM2+BE2=ME2，即x2+BE2=（a﹣BE）2，

解得：BE= ，

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴ ，

∵C△BME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x，

∴C△AGM=C△BME =（a+x） =2a．

【解析】（1）根据正方形和折叠的性质，得到两角对应相等，得到△AGM∽△BME；（2）由M为AB中点，再根据勾股定理和由（1）中的△AGM∽△BME，得到比例，证明出比例式；（3）根据勾股定理得到BE的代数式，再由（1）知，△AGM∽△BME，得到比例式，求出△AGM的周长为2a．
【考点精析】通过灵活运用翻折变换（折叠问题）和相似三角形的判定与性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．